Álgebra lineal Ejemplos

$- 8 x - 10 y = - 2$ , $- 20 x - 25 y = k$

Paso 1

Resta $k$ de ambos lados de la ecuación.

$- 8 x - 10 y = - 2, - 20 x - 25 y - k = 0$

Paso 2

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 0 & - 8 & - 10 & - 2 \\ - 1 & - 20 & - 25 & 0 \end{array}]$

Paso 3

Obtén la forma escalonada reducida por filas.

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Paso 3.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & - 20 & - 25 & 0 \\ 0 & - 8 & - 10 & - 2 \end{array}]$

Paso 3.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - - 20 & - - 25 & - 0 \\ 0 & - 8 & - 10 & - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 20 & 25 & 0 \\ 0 & - 8 & - 10 & - 2 \end{array}]$

Paso 3.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{8}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 20 & 25 & 0 \\ - \frac{1}{8} \cdot 0 & - \frac{1}{8} \cdot - 8 & - \frac{1}{8} \cdot - 10 & - \frac{1}{8} \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 3.3.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 20 & 25 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 3.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 20 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Paso 3.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 20 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 20 \cdot 0 & 20 - 20 \cdot 1 & 25 - 20 (\frac{5}{4}) & 0 - 20 (\frac{1}{4}) \\ 0 & 1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 3.4.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 5 \\ 0 & 1 & \frac{5}{4} & \frac{1}{4} \end{array}]$

Paso 4

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$k = - 5$

$x + \frac{5 y}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 5

Resta $\frac{5 y}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{1}{4} - \frac{5 y}{4}$

$k = - 5$

Paso 6

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(- 5, \frac{1}{4} - \frac{5 y}{4}, y)$

Paso 7

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 5 \\ \frac{1}{4} - \frac{5 y}{4} \\ y \end{array}]$